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圆的面积公式(“圆的面积”课例解读)

圆的面积公式
“圆的面积”课例解读— 苏州工业园区方洲小学 翟运胜 —
1.创设情境,引起探究欲望

出示一个自动旋转喷水器动画,提问:它旋转一周所喷灌的地方是一个什么样的图形呢?

生:圆形。

师:关于圆我们已经知道了些什么?

学生依次说出圆心、半径、直径、周长等相关的知识点。

根据这个情境,你会提出什么样的问题呢?

生:自动旋转喷水器旋转一周所喷灌的土地面积是多少?

2.建立猜想,引发验证需要

师:这其实就是求圆的面积,通过圆的周长的探索学习,我们得出了这样一个结论:圆的周长是它直径的π倍,也就是三倍多一些。对于圆的面积,你会有怎样的猜想呢?

生:圆的面积是不是与直径之间有固定不变的倍数呢?

生:圆的面积与半径之间是不是有固定不变的倍数呢?

师:出示半径为4厘米、3厘米、5厘米的圆。我们怎样知道这些圆的面积,有什么方法吗?

生:我们可以采用数方格的办法来求出圆的面积。

师:为了数方格与计算的方便,我们借助了与圆有一定关系的正方形,先数出四分之一圆的面积,再计算出整个圆的面积。

师指导:由于圆是曲线图形,像对角线两端的两个方格,非常接近满格的算作满格,其余不满一格的按半个计算。

学生填一填,然后依次汇报,完成下表。

师:你有什么发现呢?

生:我们发现用圆的面积除以半径以后,商并不是一个固定不变的数。

师:用圆的面积去除以相应圆的直径呢?

学生用计算器计算发现,圆的面积与直径之间也没有固定的倍数关系。

师:看来圆的面积与半径和直径都没有明确的倍数关系,那么它与什么有关系呢?请看下图:(课件依次出示)

师:从这幅图中,你能得出圆的面积与小正方形之间有怎样的关系呢?先独立思考,再小组讨论。

生:圆的面积一定小于正方形面积的4倍。

生:圆的面积一定大于正方形面积的2倍。

师:圆的面积大于正方形面积的2倍,而小于正方形面积的4倍。

师:小正方形的边长是圆的半径,这句话还可以怎样说呢?

生:圆的面积大于它半径平方的2倍,而小于它半径平方的4倍。

师:根据这幅图,你又会提出怎样的猜想呢?

生:圆的面积会不会与半径的平方之间有固定不变的倍数关系呢?

师出示下面的表格,学生填写:

师:观察表格,你有什么发现呢?

生:我发现圆的面积大约是它的半径平方的3.1倍。

生:圆的面积大约是半径平方的3倍多一些。

师:据此,你又会提出怎样的猜想呢?

生:这个数都是三倍多一点,会不会就是圆周率呢?圆的面积会不会就是圆的半径平方的π倍呢?

师:同学们真了不起!下面我们就来验证这一猜想。

3.转化推导,经历验证过程

师:同学们回忆一下,以前我们用什么方法来推导平面图形的面积计算公式呢?

生:通过剪、拼、旋转等方法把新图形转化成已经学过的图形。

师:圆的面积计算公式是不是也能这样获得呢?

生:我们可以试一下,把圆转化成已经学过的图形。

师:好!要注意从哪儿下手剪拼最有可能转化成所学过的平面图形。

生:既然圆的面积和它的半径有关,我们想沿着圆的半径剪开。

师:究竟可不可以,我们来试试看。先把圆4等分。谁来摆一摆。

学生操作如下:

师:你还想把圆等分成多少份呢?(8份)我们把现把这个圆的平均分成8份,再观察这个图形,你有什么发现?

学生操作如下:

师:你们想自己也动手拼一拼吗?老师在你们的材料袋里放了将圆16等份的纸片,拿出来拼一拼,贴在“研学单”上。

师:从这些展示的几组由圆转化而来的图形你发现了什么?

生:随着份数的增加,平行四边形的底这条曲线看起来就越来越直了。

师:想象一下,照这样再平均分下去会怎样呢?

生:拼成的图形会变成一个长方形。

课件演示圆等分成(64份、128份、256份……),学生由衷地发出赞叹声。

师:你有什么发现呢?谁来代表你们小组汇报一下。

生:长方形的底是圆周长的一半,用字母表示就是πr,长方形的底宽相当于平行四边形的高,是圆的半径r。圆的面积公式就是:S=πr×r=πr2。

师:通过这个推导过程,验证了我们的猜想,那就是——

生:圆的面积果然是它的半径平方的π倍!

师:果然一词用的真好。到目前为止,我们发现了圆蕴含着一个规律,圆的周长是它半径的2π倍,圆的面积是它半径平方的π倍。回想一下,我们是怎样探索圆面积的呢?

生:我们是从圆的周长是它直径的π倍,推想圆的面积会不会也是直径或是半径的固定的倍数。

师:然后呢?

生:我们发现圆的面积除以直径或是半径不是一个固定不变的数,借助一个边长是半径的小正方形,我们发现圆的面积小于圆的半径平方的4倍,而大于圆的半径的2倍。

生:通过数格子计算得出圆的面积是它半径平方的3.1倍,我们就猜想圆面积会不会是它半径平方的π倍。

师:再然后呢?

生:我们把圆转化成长方体,推导过出圆的面积,从而验证了圆的面积果然是它的半径平方的π倍。

师:我们在其中运用了推想、猜测、转化等探究数学问题的方法。

师:其实,16世纪德国数学家开普勒就对圆的面积进行过深入的探究,课件视频介绍。

师:看到古人有这样的成就,你想说些什么?

生答略。

师:同学们真了不起,在不到40分钟的时间里就经历了古人近千年的探究过程。我们要把掌声送给自己!

课例解读

在上面的教学过程中,教者首先组织学生猜测:圆的面积可能与什么有关系?学生一般会猜测圆的面积与半径或是直径有关系,这是不容忽视的事实。教师点拨:圆的周长除以它的半径或者直径的商是一个固定不变的数,那么,对于圆的面积你会有怎样的猜想呢?生通过圆的周长计算的类比推理,自然而然地会提出这样的第一个猜想:圆的面积除以它的半径或者直径,是一个固定不变的数。学生再通过数格子的方式得出圆的面积,用圆的面积除以它的半径与直径没有得出一个固定的数。此时研究似乎走进了一个“死胡同儿”,教师的引导作用就充分体现了出来,组织学生观察圆的面积与那个小正方形之间的关系,学生很容易发现圆的面积与它的半径平方之间的倍数关系范围,提出了第二个猜想:圆的面积与它的半径平方之间的倍数会不会是一个固定不变的数呢?学生再用圆的面积除以它半径的平方,发现了商都是3倍多一点。提问:据此,你又会有怎样的猜想呢?学生提出了第三个猜想:圆的面积除以它的半径平方的商,会是一个固定不变的数吗?这个倍数是三倍多一点,会是圆周率吗?至此,学生三次提出猜想,在迂回中不断接近问题的本质。带着猜想,学生把圆转化成已知图形,从而推导出圆的面积公式,验证了猜想。学生经历了推想、猜测、操作、转化的过程,教师适时引导学生总结探索方法,授之以渔,从而促进推理等数学核心素养的提升。